Двоичные числа

Двоичная система счисления - это позиционная система счисления с основанием 2. В этой системе счисления натуральные числа записываются с помощью всего лишь двух символов (в роли которых обычно выступают цифры 0 и 1).

Двоичная система используется в цифровых устройствах , поскольку является наиболее простой и соответствует требованиям:

• Чем меньше значений существует в системе, тем проще изготовить отдельные элементы, оперирующие этими значениями. В частности, две цифры двоичной системы счисления могут быть легко представлены многими физическими явлениями: есть ток - нет тока, индукция магнитного поля больше пороговой величины или нет и т. д.
• Чем меньше количество состояний у элемента, тем выше помехоустойчивость и тем быстрее он может работать. Например, чтобы закодировать три состояния через величину индукции магнитного поля, потребуется ввести два пороговых значения, что не будет способствовать помехоустойчивости и надёжности хранения информации.
• Двоичная арифметика является довольно простой. Простыми являются таблицы сложения и умножения - основных действий над числами.
• Возможно применение аппарата алгебры логики для выполнения побитовых операций над числами.

Ссылки

• Онлайн калькулятор для перевода чисел из одной системы счисления в другую

Wikimedia Foundation . 2010 .

В курсе информатики, вне зависимости, школьном или университетском, особое место уделяется такому понятию как системы счисления. Как правило, на него выделяют несколько уроков или практических занятий. Основная цель - не только усвоить основные понятия темы, изучить виды систем счисления, но и познакомиться с двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной арифметикой.

Что это значит?

Начнем с определения основного понятия. Как отмечает учебник "Информатика", система счисления - записи чисел, в которой используется специальный алфавит или определенный набор цифр.

В зависимости от того, меняется ли значение цифры от ее положения в числе, выделяют две: позиционную и непозиционную системы счисления.

В позиционных системах значение цифры меняется вместе с ее положением в числе. Так, если взять число 234, то цифра 4 в ней означает единицы, если же рассмотреть число 243, то тут она будет уже означать десятки, а не единицы.

В непозиционных системах значение цифры статично, вне зависимости от ее положения в числе. Наиболее яркий пример - палочковая система, где каждая единица обозначается с помощью черточки. Неважно, куда вы припишите палочку, значение числа измениться лишь на единицу.

Непозиционные системы

К непозиционным системам счисления относятся:

1. Единичная система, которая считается одной из первых. В ней вместо цифр использовались палочки. Чем их было больше, тем больше было значение числа. Встретить пример чисел, записанных таким образом, можно в фильмах, где речь идет о потерянных в море людях, заключенных, которые отмечают каждый день с помощью зарубок на камне или дереве.
2. Римская, в которой вместо цифр использовались латинские буквы. Используя их, можно записать любое число. При этом его значение определялось с помощью суммы и разницы цифр, из которых состояло число. Если слева от цифры находилось меньшее число, то левая цифра вычиталась из правой, а если справа цифра была меньше или равна цифре слева, то их значения суммировались. Например, число 11 записывалось как XI, а 9 - IX.
3. Буквенные, в которых числа обозначались с помощью алфавита того или иного языка. Одной из них считается славянская система, в которой ряд букв имел не только фонетическое, но и числовое значение.
4. в которой использовалось всего два обозначения для записи - клинья и стрелочки.
5. В Египте тоже использовались специальные символы для обозначения чисел. При записи числа каждый символ мог использоваться не более девяти раз.

Позиционные системы

Большое внимание уделяется в информатике позиционным системам счисления. К ним относятся следующие:

• двоичная;
• восьмеричная;
• десятичная;
• шестнадцатеричная;
• шестидесятеричная, используемая при счете времени (к примеру, в минуте - 60 секунд, в часе - 60 минут).

Каждая из них обладает своим алфавитом для записи, правилами перевода и выполнения арифметических операций.

Десятичная система

Данная система является для нас наиболее привычной. В ней используются цифры от 0 до 9 для записи чисел. Они также носят название арабских. В зависимости от положения цифры в числе, она может обозначать разные разряды - единицы, десятки, сотни, тысячи или миллионы. Ее мы пользуемся повсеместно, знаем основные правила, по которым производятся арифметические операции над числами.

Двоичная система

Одна из основных систем счисления в информатике - двоичная. Ее простота позволяет компьютеру производить громоздкие вычисления в несколько раз быстрее, нежели в десятичной системе.

Для записи чисел используется лишь две цифры - 0 и 1. При этом, в зависимости от положения 0 или 1 в числе, его значение будет меняться.

Изначально именно с помощью компьютеры получали всю необходимую информацию. При этом, единица означала наличие сигнала, передаваемого с помощью напряжения, а ноль - его отсутствие.

Восьмеричная система

Еще одна известная компьютерная система счисления, в которой применяются цифры от 0 до 7. Применялась в основном в тех областях знаний, которые связаны с цифровыми устройствами. Но в последнее время она употребляется значительно реже, так как на смену ей пришла шестнадцатеричная система счисления.

Двоично-десятичная система

Представление больших чисел в двоичной системе для человека - процесс довольно сложный. Для его упрощения была разработана Используется она обычно в электронных часах, калькуляторах. В данной системе из десятичной системы в двоичную преобразуется не все число, а каждая цифра переводится в соответствующий ей набор нулей и единиц в двоичной системе. Аналогично происходит и перевод из двоичной системы в десятичную. Каждая цифра, представленная в виде четырехзначного набора нулей и единиц, переводится в цифру десятичной системы счисления. В принципе, нет ничего сложного.

Для работы с числам в данном случае пригодится таблица систем счисления, в которой будет указано соответствие между цифрами и их двоичным кодом.

Шестнадцатеричная система

В последнее время все большую популярность приобретает в программировании и информатике система счисления шестнадцатеричная. В ней используются не только цифры от 0 до 9, но и ряд латинских букв - A, B, C, D, E, F.

При этом, каждая из букв имеет свое значение, так A=10, B=11, C=12 и так далее. Каждое число представляется в виде набора из четырех знаков: 001F.

Перевод чисел: из десятичной в двоичную

Перевод в системах счисления чисел происходит по определенным правилам. Наиболее часто встречается перевод из двоичной в десятичную систему и наоборот.

Для того, чтобы перевести число из десятичной системы в двоичную, необходимо последовательно делить его на основание системы счисления, то есть, число два. При этом, остаток от каждого деления необходимо фиксировать. Так будет происходить до тех пор, пока остаток от деления не будет меньше или равен единице. Проводить вычисления лучше всего в столбик. Затем полученные остатки от деления записываются в строку в обратном порядке.

Например, переведем число 9 в двоичную систему:

Делим 9, так как число не делится нацело, то берем число 8, остаток будет 9 - 1 = 1.

После деления 8 на 2 получаем 4. Снова делим его, так как число делится нацело - получаем в остатке 4 - 4 = 0.

Проводим ту же операцию с 2. В остатке получаем 0.

В итоге деления у нас получается 1.

Вне зависимости от итоговой системы счисления, перевод чисел из десятичной в любую другую будет происходить по принципу деления числа на основу позиционной системы.

Перевод чисел: из двоичной в десятичную

Довольно легко переводить числа и в десятичную систему счисления из двоичной. Для этого достаточно знать правила возведения чисел в степень. В данном случае, в степень двойки.

Алгоритм перевода следующий: каждую цифру из кода двоичного числа необходимо умножить на двойку, причем, первая двойка будет в степени m-1, вторая - m-2 и так далее, где m - количество цифр в коде. Затем сложить результаты сложения, получив целое число.

Для школьников этот алгоритм можно объяснить проще:

Для начала берем и записываем каждую цифру, умноженную на двойку, затем проставляем степень двойки с конца, начиная с нуля. Потом складываем полученное число.

Для примера разберем с вами полученное ранее число 1001, переведя его в десятичную систему, и заодно проверим правильность наших вычислений.

Выглядеть это будет следующим образом:

1*2 3 + 0*2 2 +0*2 1 +1*2 0 = 8+0+0+1 =9.

При изучении данной темы удобно использовать таблицу со степенями двойки. Это существенно уменьшит количество времени, необходимое для проведения вычислений.

Другие варианты перевода

В некоторых случаях перевод может осуществляться между двоичной и восьмеричной системой счисления, двоичной и шестнадцатеричной. В таком случае можно пользоваться специальными таблицами или же запустить на компьютере приложение калькулятор, выбрав во вкладке вид вариант «Программист».

Арифметические операции

Вне зависимости от того, в каком виде представлено число, с ним можно проводить привычные для нас вычисления. Это может быть деление и умножение, вычитание и сложение в системе счисления, которую вы выбрали. Конечно, для каждой из них действуют свои правила.

Так для двоичной системы разработаны свои таблицы для каждой из операций. Такие же таблицы используются и в других позиционных системах.

Заучивать их необязательно - достаточно просто распечатать и иметь под рукой. Также можно воспользоваться калькулятором на ПК.

Одна из важнейших тем в информатике - система счисления. Знание этой темы, понимание алгоритмов перевода чисел из одной системы в другую - залог того, что вы сможете разобраться в более сложных темах, таких как алгоритмизация и программирование и сможете самостоятельно написать свою первую программу.

Память человечества не сохранила, не донесла до нас имя изобретателя колеса или гончарного круга. Это и неудивительно: более 10 тысяч лет прошло с тех пор, как люди всерьез занялись земледелием, скотоводством и производством простейших товаров. Назвать же имя гения, впервые задавшего вопрос «Сколько?», тем более невозможно.

В каменном веке, когда люди собирали плоды, ловили рыбу и охотились на животных, потребность в счете возникла так же естественно, как и потребность в добывании огня. Об этом свидетельствуют находки археологов на стоянках первобытных людей. Например, в 1937 году в Вестонице (Моравия) на месте одной из таких стоянок найдена волчья кость с 55 глубокими зарубками. Позже в других местах ученые находили столь же древние каменные предметы с точками и черточками, сгруппированными по три или по пять.

Развитие чисел тесно связано с потребностями общества в измерениях, контроле, особенно в областях аграрной, промышленной и налогообложения. Первые области применения чисел были связаны с созерцанием звезд и земледелием. Изучение звездного неба позволило проложить торговые морские пути, караванные дороги в новые районы и резко увеличить эффект торговли между государствами. Обмен товарами приводил к обмену культурными ценностями, к развитию толерантности как явления, лежащего в основе мирного сосуществования различных рас и народов. Понятие числа всегда сопровождалось и нечисловыми понятиями. Например, один, два, много. Эти нечисловые понятия всегда ограждали числа. Числа придавали законченный вид всем наукам, где они применялись.

Язык чисел, как и обычный язык, имеет свой алфавит. В том языке чисел, которым сейчас пользуются практически на всём земном шаре, алфавитом служат десять цифр от 0 до 9. Этот язык называется десятичной системой счисления. Однако не во все времена и не везде люди пользовались десятичной системой счисления. С точки зрения чисто математической она не имеет специальных преимуществ перед другими возможными системами счисления, и своим повсеместным распространением эта система обязана вовсе не общим законам математики, а причинам совсем иного характера. О свойствах, истории возникновения и применения различных систем счисления будет рассказано в нашей работе.

Потребность в записи числа появилась в очень древние времена, как только люди начали считать.

Представим себе то далекое время, когда люди только начали изобретать числа. В те времена для счета человеку хватало четырех слов: один, два три и много. Именно так считают и сейчас некоторые племена, живущие в джунглях Южной Америки. С развитием человечества этих слов стало не хватать. Земледельцу надо было подсчитать урожай, скотоводу животных, строителю количество бревен Умение считать и производить операции с числами высоко ценилось. Числа вызывали удивление, потому что они могли обозначать количество любых предметов, например, два пальца, две руки, два человека или два камня.

Способов счета было придумано немало: люди рисовали палочки на стенах и делали зарубки на костях животных или ветках деревьев. Такая система записи чисел называется единичной. Любое число в ней образуется повторением одного знака - единицы. Для записи больших чисел используются группировки и вспомогательные значки.

Поэтому появился счет группами, так появились первые нумерации - системы счисления.

Со времени их происхождение сформировалось большое количество отличных систем счисления: пятеричная, десятичная, мультипликативная

Машинная группа систем счисления

Перед математиками и конструкторами 50-х годов встала проблема отыскания таких систем счисления, которые отвечали бы требованиям, как разработчиков ЭВМ, так и создателей программного обеспечении. Одним из итогов этих исследований стало значительное изменение представлений о системах счисления и о методах вычислений. Оказалось, что арифметический счет, которым человечество пользуется с древнейших времен, может совершенствоваться, подчас весьма неожиданно и на удивление эффективно.

Специалисты выделили так называемую «машинную» группу систем счисления и разработали способы преобразования чисел этой группы. К «машинной» группе систем счисления относятся: двоичная, восьмеричная, шестнадцатеричная. Однако на начальном этапе развития информационных технологий использовалась троичная система счисления.

Двоичная система проста, так как для представления информации в ней используются всего два состояния или две цифры. Такое представление информации принято называть двоичным кодированием. Представление информации в двоичной системе использовалось человеком с давних времен. Так, жители островов Полинезии передавали необходимую информацию при помощи барабанов: чередование звонких и глухих ударов. Звук над поверхностью воды распространялся на достаточно большое расстояние, таким образом «работал» полинезийский телеграф. В телеграфе в Х1Х-ХХ веках информация передавалась с помощью азбуки Морзе - в виде последовательности из точек и тире.

В конце XX века, века компьютеризации, Человечество пользуется двоичной системой ежедневно, так как вся информация, обрабатываемая современными ЭВМ, хранится в них в двоичном виде. Каким же образом осуществляется это хранение? Каждый регистр арифметического устройства ЭВМ, каждая ячейка памяти представляет собой физическую систему, состоящую из некоторого числа однородных элементов. Каждый такой элемент способен находиться в нескольких состояниях и служит для изображения одного из разрядов числа. Именно поэтому каждый элемент ячейки называют разрядом. Нумерацию разрядов в ячейке принято вести справа налево, самый левый разряд имеет порядковый номер 0. Если при записи чисел в ЭВМ мы хотим использовать обычную десятичную систему счисления, то мы должны получать 10 устойчивых состояний для каждого разряда, как на счетах при помощи костяшек. Такие машины существуют. Однако конструкция элементов такой машины чрезвычайно сложна. Наиболее надежным и дешевым является устройство, каждый разряд которого может принимать два состояния: намагничено - не намагничено, высокое напряжение - низкое напряжение и т. д. В современной электронике развитие аппаратной базы ЭВМ идет именно в этом направлении. Следовательно, использование двоичной системы счисления в качестве внутренней системы представления информации вызвано конструктивными особенностями элементов вычислительных машин.

Преимущества двоичной системы счисления:

1. Простота совершаемых операций

2. Возможность осуществлять автоматическую обработку информации, реализуя только два состояния элементов компьютера.

Недостаток двоичной системы счисления:

1. Быстрый рост числа разрядов в записи, представляющей двоичное число

Для представления двоичных чисел вне компьютера используют более компактные по длине чисел восьмеричную (для записи кодов чисел и машинных команд) и шестнадцатеричную (для записи адреса команд) системы счисления.

3. Предоставление информации в компьютере.

В данный момент для кодировки информации в компьютере используется двоичная система счисления. Каждый символ в компьютере представляется в виде последовательности единиц и нулей, любая такая последовательность состоит из восьми знаков. Знакоместа в таких последовательностях называется битом, а восемь битов это байт.

Для перевода значений отдельных байтов в понятные человеку знаки (буквы и цифры) компьютер использует специальные «кодовые таблицы», в которых каждому знаку сопоставлен байт с определенным значением.

Впрочем, измерять компьютерную информацию байтами весьма неудобно из-за объема. Вот почему на практике в компьютерном мире оперируют такими величинами:

Килобайт (кб) - 2 в степени 10 байт - 1024 байт;

Мегабайт (Мб) - 2 в степени 20 байт - 1 048 576 байт -

Гигабайт (Гб) - 2 в степени 30 байт - 1 073 741 824 байт -

1 048 576 кб-1024 Мб;

Терабайт (Тб) - 2 в степени 40 байт - 1 099 511 627 776 байт -

1 073 741 824 кб - 1 048 576 Мб - 1024 Гб;

Петабайт (Пб) - 2 в степени 50 байт - 1125 899 906 842 624 байт -

1 099 511 627 776 кб - 1073 741 824 Мб - 1 048 576 Гб - 1024 Тб

Биты используются в компьютерной терминологии значительно реже, - например, в показателях скорости передачи данных:

Килобит (кбит) - 2 в степени 10 бит -"1024 бит - 128 байт;

Мегабит (Мбит) - 2 в степени 20 бит - 1 048 576 бит -

1024 кбит-128 кб;

Гигабит (Гбит) - 2 в степени 30 бит - 1 073 741 824 бит -

1 048 576 кбит - 1024 Мбит - 128 Мб.

3. 1Представление чисел.

Как было уже сказано, все числовые данные хранятся в машине в двоичном виде, то есть в виде последовательности нулей и единиц, однако формы хранения целых и вещественных чисел различны.

Целые числа хранятся в форме с фиксированной запятой, вещественные числа хранятся в форме с плавающей запятой. В темах 8 и 9 можно прочитать подробное описание способов представления чисел в компьютерах. Заметим, что термин «действительные числа» в компьютерной терминологии заменяется на вещественные числа.

Необходимость различного представления целых и вещественных чисел вызвана тем, что скорость выполнения арифметических операций над числами с плавающей запятой существенно ниже скорости выполнения этих же операций над числами с фиксированной запятой. Существует большой класс задач, в которых не используются вещественные числа. Например, задачи экономического характера, при решении которых данными служат количество деталей, акций, сотрудников и так далее, работают только с целыми числами. Текстовая, графическая и звуковая информация, как это будет показано ниже, также кодируются в компьютере с помощью целых чисел. Для повышения скорости выполнения таких задач и используется представление целых чисел в форме с фиксированной запятой.

Для решения математических и физических задач, в которых трудно обойтись только целыми числами, используется представление чисел в форме с плавающей запятой.

Более того, в современных персональных компьютерах процессоры выполняют операции только над целыми числами в форме с фиксированной запятой.

3. 2Представление текстовых данных

Любой текст состоит из последовательности символов. Символами могут быть буквы, цифры, знаки препинания, знаки математических действий, круглые и квадратные скобки и т. д. Особо обратим внимание на символ «пробел», который используется для разделения слов и предложений между собой. Хотя на бумаге или экране дисплея «пробел» - это пустое, свободное место, этот символ ничем не хуже» любого другого символа. На клавиатуре компьютера или пишущей машинки символу «пробел» соответствует специальная клавиша.

Текстовая информация, как и любая другая, хранится в памяти компьютера в двоичном виде. Для этого каждому символу ставится в соответствие некоторое неотрицательное число, называемое кодом символа, и это число записывается в компьютерную память в двоичном виде. Конкретное соответствие между символами и их кодами называется системой кодировки.

В современных компьютерах, в зависимости от типа операционной системы и конкретных прикладных программ, используются 8-разрядные и 16-разрядные (Windows 95, 98, ХР) коды символов. Использование 8-разрядных кодов позволяет закодировать 256 различных знаков, этого вполне достаточно для представления многих символов, используемых на практике. При такой кодировке для кода символа достаточно выделить в памяти один байт. Так и делают: каждый символ представляют своим кодом, который записывают в один байт памяти. В персональных компьютерах обычно используется система кодировки ASCII (American standard Соде for Information Interchange) - американский стандартный код для обмена информации. В этой системе не предусмотрены коды для русского алфавита, поэтому в нашей стране используются варианты этой системы кодировки, в которые включают буквы русского алфавита. Чаще всего используется вариант, известный под названием «Альтернативная кодировка».

Компьютерные технологии постоянно совершенствуются, и в настоящее время все большее число программ начинает поддерживать шестнадцатибитовый стандарт Unicode, который позволяет кодировать практически все языки и диалекты жителей Земли в силу того, что кодировка включает в себя 65 536 различных двоичных кодов.

3. 3. Представление графической информации

Мониторы современных компьютеров могут работать в двух режимах: текстовом и графическом.

В текстовом режиме экран обычно разбивается на 25 строк по 80 символов в строке. В каждую позицию экрана (знакоместо) может быть помещен один символ. В текстовом режиме на экран монитора можно выводить тексты и простые рисунки, составленные из символов псевдографики. Всего на экране 25 80 = 2000 знакомест. В каждом знакоместе находится ровно один символ (пробел - равноправный символ), этот символ может быть высвечен одним из 16 цветов. При этом можно изменять цвет фона (8 цветов), на котором рисуется символ и, кроме того, символ может мерцать, для представления цвета символа нам требуется 4 бита (2 = 16), для представления цвета фона требуется 3 бита (23 = 8), один бит - для реализации мерцания (0 - не мерцает, 1 - мерцает). Следовательно, для описания каждого знакоместо нам требуется 2 байта: первый байт - символ, второй байт - его цветовые характеристики. Таким образом, любой текст или рисунок в текстовом режиме монитора в памяти компьютера (в видеопамяти) занимает 2000 2 байта = 4000 байт 4 Кбайта.

В графическом режиме экран разделяется на отдельные светящиеся точки (пиксели), количество которых определяет разрешающую способность монитора и зависит от его типа и режима. Любое графическое изображение хранится в памяти в виде информации о каждом пикселе на экране. Если пиксель не участвует в изображении картинки, то он не светится, если участвует, то светится и имеет определенный цвет. Поэтому состояние каждого пикселя описывается последовательностью нулей и единиц. Такую форму представления графических изображений называют растровой. В зависимости от того, сколькими цветами (размер палитры) мы можем высветить каждый пиксель, рассчитывается размер информации, отводимый под каждый пиксель. Если монитор может работать с 16 цветами, то цвет каждого пикселя описывается 4 битами (24 = 16). Для работы с 256 цветами под каждый пиксель надо будет отвести 8 бит, или 1 байт (28 = 256).

Посчитаем, сколько байт занимает при хранении в памяти картинка, если на экран можно вывести 640 * 480 пикселей, и монитор поддерживает 256 цветов:

640. 480 1 байт = 307200 байт 300 Кбайт.

Компьютерное кодирование видеоинформации, также как кино и телевидение, основаны на том, что человеческое зрение позволяет создавать иллюзию движения при частой смене кадров (более 15 раз в секунду), на которых изображены последовательные фазы движения. Для записи 1 секунды цветного изображения без звука (25 кадров размером 1024 * 768 пикселей) потребуется примерно 60 Мбайт (25 4024. 768 3 = 58 982 400 байт). При этом на запись двухчасового фильма потребуется более 400 Гбайт.

Из-за больших размеров графических и видео файлов они очень редко хранятся в компьютере в неупакованном виде.

Простейший методов упаковки графических изображений RLE-кодирование (англ. Run-Length Encoding) - кодирование путем учета числа повторений), позволяющее компактно кодировать длинные последовательности одинаковых байтов. Упакованная последовательность состоит из управляющих байтов, за каждым из которых следуют один или несколько байтов данных. Если старший (самый левый) бит управляющего байта ранен 1, то следующий байт надо при распаковке повторить несколько раз (сколько именно - записано в оставшихся семи битах управляющего байта). Например, управляющий байт 10000101 говорит, что следующий за ним байт нужно повторить 5 раз (так как двоичное число 101 равно 5). Если же старший бит управляющего байта равен 0, то надо взять несколько следующих байтов данных без всяких изменений. Сколько именно - тоже записано в оставшихся 7 битах. Например, управляющий байт 00000011 говорит, что следующие за ним 3 байта нужно взять без изменений.

Другие алгоритмы сжатия графической и видео информации основываются на том, что человеческий глаз более восприимчив к яркости отдельной точкУ1, чем к её цветности.

Поэтому можно при упаковке выбросить данные о цвете каждой второй точки изображения (сохранив только ее яркость), a при распаковке - брать вместо выброшенного цвет соседней точки. Формально распакованное изображение будет отличаться от исходного, однако это отличие будет практически незаметно на глаз. При таком методе упаковки экономия составляет менее 50%. Голее сложные методы упаковки изображений позволяют добиться значительно лучших результатов. Например, алгоритм JPEG (от названия разработавшей его группы - Joint Photographic Experts Group) способен упаковывать графические изображения в несколько десятков раз без заметной потери качества.

Чтобы решить проблему большого объёма информации при записи фильмов, например, сохраняют не кадры, а изменения кадров. К тому же, при упаковке видеоинформации допустимы большие искажения, чем при сжатии статических изображений: кадры меняются быстро, и зритель не успевает рассматривать их детально.

Вводи хранение в компьютере технических чертежей и им подобных графических изображений осуществляется по-другому. Любой чертеж содержит отрезки, окружности, дуги. Например, положение каждого отрезка на чертеже можно задать координатами двух точек, определяющих его начало и конец. Окружность - координатами центра и длиной радиуса. Дугу - координатами конца и начала, центра и длиной радиуса. Кроме того, для каждой линии указывается ее тип: тонкая, штрихпунктирная и Т. д. Такая информация о чертеже вводится в компьютер как обычная буквенно-цифровая и обрабатывается в дальнейшем специальными программами. Эта форма представления изображения называется векторной.

Примером современной компьютерной системы автоматизации черчения, ориентированной на векторную форму представления графической информации, является система AutoCAD. Появившиеся в последние годы высококачественные программы векторизации (преобразования графического изображения из растровой формы в векторную) позволили в значительной мере автоматизировать работу по вводу чертежа в память компьютера с помощью сканеров. Хранение чертежа в компьютере в векторной форме на несколько порядков сокращает необходимый объем памяти и значительно облегчает внесение изменений (редактирование).

3. 4 Представление звуковой информации

Развитие аппаратной базы современных компьютеров параллельно с развитием программного обеспечения позволяет сегодня записывать и воспроизводить на компьютерах музыку и человеческую речь. Существуют два способа звукозаписи:

Цифровая запись, при которой реальные звуковые волны преобразуются в цифровую информацию путем измерения звука тысячи раз в секунду;

MIDI-запись, при которой, вообще говоря, записывается не реальный звук, а определенные команды-указания (какие клавиши надо нажимать, например, на синтезаторе).

MIDI-запись является электронным эквивалентом записи игры на фортепиано.

Для того чтобы можно было воспользоваться первым указанным способом, в компьютере должна быть звуковая карта (плата).

Звук представляет собой звуковую волну с непрерывно меняющейся амплитудой (сила, интенсивность звука) и частотой (высота тона звука). Частота волны (количество «волн» в секунду) измеряется в герцах (Гц). Чем больше амплитуда сигнала, тем громче звук, чем больше частота сигнала, тем выше тон. Человек воспринимает звуковые волны с частотой из диапазона от 20 Гц до 20 000 Гц.

Для того чтобы компьютер мог обрабатывать звук, непрерывный звуковой сигнал должен быть превращен в цифровую последовательность, состоящую из нулей и единиц. Данную функцию выполняет специальный блок, входящий в состав звуковой карты и называемый аналого-цифровым преобразователем (АЦII).

Реальные звуковые волны имеют весьма сложную форму, и для получения их высококачественного цифрового представления требуется высокая частота дискретизации

АЦП производит дискретизацию звукового сигнала по времени путем измерения уровня интенсивности звука несколько тысяч раз в секунду (через равные пpомежyтки). Частота, с которой производят измерения звукового сигнала, называется частотой дискретизации. Например, при записи музыкальных компакт-дисков используют частоту дискретизации 44 кГц, а при записи речи вполне достаточно частоты дискретизации 8 кГц.

В результате дискретизации амплитуды звукового сигнала непрерывная зависимость амплитуды от времени А(t) заменяется на дискретную последовательность стандартных (заранее определенных) уровней громкости. Графически это выглядит как замена гладкой кривой на последовательность «ступенек». Число разрядов, используемых для записи уровней громкости звука, определяет качество звучания

Таким образом, в ходе оцифровки звука мы получаем поток целых чисел, представляющих собой номера стандартных амплитуд сигналов. Получившиеся значения записываются в виде 0 и 1 в память компьютера (в файлы с расширением. WAV).

Аналоговый электрический сигнал (запись на грампластинке, магнитной ленте) теоретически представляет собой точную копию исходной звуковой волны, а цифровой код - лишь более или менее точное приближение. Тем не менее, цифровая звукозапись имеет множество преимуществ. Так, например, цифровые копии всегда идентичны цифровым оригиналам, а это значит, что записи можно копировать много раз без ухудшения качества.

При воспроизведении записанного в компьютерный файл звука имеет место обратное преобразование: из дискретной цифровой формы - в непрерывную аналоговую. Это преобразование осуществляет устройство, находящееся на звуковой плате и называемое цифро-аналоговый преобразователь (ЦАП).

Хранение звука в виде цифровой записи занимает достаточно много места в памяти компьютера. В качестве примера оценим объем файла, в котором хранится стереоаудио звучание длительностью 1 секунда. При этом при оцифровке звука использовалось 65 536 стандартных уровней звука (для хранения номера уровня требуется 16 бит), а частота дискретизации равна 48 кГц. Следовательно, для хранения в компьютере 1 секунды звучания в оцифрованном виде при заданных характеристиках оцифровки нам требуется

16 бит. 48 000 2 = 1 536 000 бит = 192 000 байт = 187,5 Кб.

Умножение на коэффициент 2 связано с тем, что хранится стереозвук.

MIDI-запись была разработана в начале 80-х годов ХХ века (MIDI - Musical Instrument Digital Interfase - интерфейс цифровых музыкальных инструментов). MIDI-иxформация представляет собой команды, а не звуковую волну. Эти команды - инструкции синтезатору. В качестве команды музыкальному синтезатору может передаваться указание нажать или отпустить определенную клавишу, изменить высоту или тембр звучания, изменить силу давления на клавиатуру, включить или выключить полифонический режим и Т. П. MIDI–команды делают запись музыкальной информации более компактной, чем цифровая запись. Однако для записи MIDI-команд вам потребуется устройство, имитирующее клавишный синтезатор, которое воспринимает MIDI-команды и при их получении может генерировать соответствующие звуки.

Из всех видов информации, представимых и обрабатываемых в компьютерах, звуковая информация хуже всего поддается упаковке. Это связано с тем, что звуковые сигналы обладают малой избыточностью (в частности, в закодированных звуковых фрагментах редко появляются повторяющиеся последовательности байтов).

4. Классификация

Система счисления - способ записи чисел с помощью заданного набора специальных знаков (цифр).

Базис – это последовательность чисел, каждое из которых задает значение цифры «по месту» или «вес» каждого разряда.

Основание системы счисления - отношение весов соседних разрядов основной позиционной системы счисления.

Позиционная система счисления - система счисления, в которой вес цифры меняется с изменением положения цифры в числе, но при этом полностью определяется написанием цифры и местом, которое она занимает. В частности, это означает, что вес цифры не зависит от значений окружающих ее цифр.

Непозиционная система счисления - система счисления, в которой вес цифры не зависит от ее положения.

Универсальная система счисления - система счисления, которая позволяет записать любое вещественное число (конечной или бесконечной последовательностью цифр).

Неуниверсальная система счисления - система счисления, которая позволяет записать лишь относительно небольшие числа, иногда только целые (либо наоборот, только меньшие единицы).

Основная система счисления - позиционная система счисления, в которой вес каждой цифры изменяется в одно и то же число раз при ее переносе из любого разряда в соседний с ним.

Неосновная система счисления - позиционная система счисления, в которой соотношение весов соседних разрядов может меняться.

Традиционная система счисления - система счисления, в которой запись числа состоит из двух частей - целой и дробной. Количество цифр перед разделяющей эти части запятой (точкой) заранее не известно и может быть сколь угодно большим. Фактически запись числа образует две последовательности цифр, разбегающиеся влево и вправо от запятой.

Информационная система счисления - система счисления, в которой запись числа (в отличие от традиционной) состоит из единственной последовательности цифр. При этом каждая очередная цифра (бит) уточняет значение числа (его положение на оси).

5. Переход к другому основанию

Любая позиционная система счисления характеризуется тем, что базисом этой системы являются последовательные степени основания, иначе говоря, число единиц соответствующие основанию образуют единицу следующего разряда.

Так неотрицательное число, а в любой системе счисления можно записать как

Таким образом, позиционная система счисления позволяет с помощью заранее ограниченного набора цифр записать в виде суммы степеней основания системы.

На этом и основывается перевод из любой позиционной системы счисления в десятичную систему.

5. 1 Перевод из произвольной позиционной системы счисления в десятичную систему.

Для перевода из любой позиционной системы счисления в десятичную систему используется следующий алгоритм:

Пронумеруем цифры в изначальной записи числа справа налево, начиная с нуля (номера соответствуют степени основания в многочлене)

Умножим каждое число на соответствующую степень основания.

Складываем получившиеся произведения.

Приведем пример:

11012 =1*23 + 1*22 + 0*21+ 1*20= 8+4+0+1=1310

1204205= 1*55+2*54+0*53+4*52+2*51+0*50= 3125+1250+0+100+10+0=448510

5. 2 Перевод из десятичной системы в произвольную позиционную систему счисления

Для перевода из десятичной системы счисления в любую позиционную необходимо придерживаться следующего алгоритма:

1. Делим исходное число на основание нацело в десятичной системы счисления и записываем в качестве нового значения десятичного целую часть результата от деления.

2. Остаток от деления (он должен быть не больше основания данной системы) записываем начиная с последнего.

Приведем пример:

4410 переведём в двоичную систему

44 делим на 2. частное 22, остаток 0

22 делим на 2. частное 11, остаток 0

11 делим на 2. частное 5, остаток 1

5 делим на 2. частное 2, остаток 1

2 делим на 2. частное 1, остаток 0

1 делим на 2. частное 0, остаток 1

Частное равно нулю, деление закончено. Теперь записав все остатки, справа налево получим число 1011002

5. 3 Перевод в машинной группе.

Для этого типа операций существует упрощенный алгоритм.

Для восьмеричной - разбиваем число на триады, для шестнадцатеричной - разбиваем на тетрарды, преобразуем триады по таблице

Пример: преобразуем 1011002 восьмеричная - 101 100 → 548 шестнадцатеричная - 0010 1100 → 2C16

Обратный перевод из восьмеричной и шестнадцатеричной в двоичную осуществляется за счет замены цифр соответствующими триадами и тетрардами.

548 → 101 1002

2C16 → 0010 11002

5. 4 Дробное счисление в других системах счисления

До этого в рассмотренных примерах показателем степени основания системы счисления являлось натуральное число, но ничто не мешает перевести показатель степени в диапазон целых чисел, т. е. расширить его в отрицательную полуплоскость. При этом формула, данная в определении будет, также верна.

Рассмотрим пример: число 103,625 можно представить как

Таким образом, из примера видно, что не только целое, но и дробное число можно представить как комбинацию из цифр системы счисления.

5. 4. 1 Перевод из произвольной системы счисления в десятичную систему.

Рассмотрим пример перевода двоичного числа 1100,0112 в десятичное систему. Целая часть этого числа равна 12 (см. выше), а вот перевод дробной части рассмотрим подробнее:

Итак, число 1100,0112 = 12,37510.

Точно также осуществляется перевод из любой системы счисления, только вместо «2» ставится основание системы.

Для удобства перевода, целую и дробную части числа почти всегда переводят по отдельности, а результат потом суммируют.

5. 4. 2 Перевод из двоичной системы в 8- и 16-ричную

Перевод дробной части из двоичной системы счисления в системы счисления с основаниями 8 и 16 осуществляется точно так же, как и для целых частей числа, за тем лишь исключением, что разбивка на триады и тетрады идёт вправо от десятичной запятой, недостающие разряды дополняются нулями справа. Например, рассмотренное выше число 1100,0112 будет выглядеть как 14,38 или C,616.

5. 4. 3 Перевод из десятичной системы в произвольную систему

Для перевода дробной части числа в другие системы счисления нужно обратить целую часть в нуль и начать умножение получившегося числа на основании той системы, в которую нужно перевести. Если в результате умножения будут снова появляться целые части, их нужно повторно обращать в нуль, предварительно запомнив (записав) значение получившейся целой части. Операция заканчивается, когда дробная часть полностью обратится в нуль. Ниже приводится пример перевода числа 103,62510 в двоичную систему счисления.

Переводим целую часть по правилам, описанным выше, получаем 10310 = 11001112.

0,625 умножаем на 2. Дробная часть 0,250. Целая часть 1.

0,250 умножаем на 2. Дробная часть 0,500. Целая часть 0.

0,500 умножаем на 2. Дробная часть 0,000. Целая часть 1.

Итак, сверху вниз получаем число 1012

103,62510 = 1100111,1012

Точно также осуществляется перевод в системы счисления с любым основанием.

Сразу нужно отметить, что этот пример специально подобран, в общем случае очень редко удаётся завершить перевод дробной части числа из десятичной системы в другие системы счисления, а потому, в подавляющем большинстве случаев, перевод можно осуществить с какой либо долей погрешности. Чем больше знаков после запятой - тем точнее приближение результата перевода к истине. В этих словах легко убедиться, если попытаться, например, перевести в двоичный код число 0,626.

6. Арифметические действия в позиционных системах счисления.

Все позиционные системы счисления одинаковы, а именно, во всех них арифметические действия выполняются по одним и тем же правилам:

Справедливы все законы: сочетательный, переместительный, распределительный;

Справедливы все правила арифметических действий, которые действуют в десятичной системе счисления;

Правила выполнения арифметических действий опираются на таблицу сложения и умножения Р-ичных цифр.

Для того чтобы производить арифметические действия в позиционных системах счисления необходимо знать соответствующие таблицы умножения и сложения.

5. 1 Сложение.

Из приведенных примеров видно, что при сложении столбиком чисел, в данном случае двоичной системы, как и в любой позиционной системе счисления, в следующий разряд переносится только единица.

Нужно сказать, что само действие выполняется аналогично десятичному: цифры по разрядно складываются и при образовании переполнения, оно переносится в следующий разряд в виде степени образовавшегося переполнения. Так же для выполнения сложения используются соответствующие таблицы

6. 2 Вычитание

Чтобы найти разность чисел a и b необходимо найти такое число c, a+c=b.

На этом принципе и основано вычитание во всех позиционных системах счисления.

Например:

6. 3 Умножение

Как известно умножение можно заменить сложением. Например:

Из этого следует, что умножение в других позиционных системах счисления так же можно заменить сложением то есть:

101*11=101+101+101(так 11 в десятичной системе счисления)

Из этого можно сделать вывод, что умножение во всех позиционных система счисления происходит по одному принципу. В основном для умножения различных чисел недесятичных систем счисления используются соответствующие таблицы умножения

Например:

*1100112 *745628

110011 +457472

1011001012 425775728

6. 4 Деление

Деление-это процесс последовательного вычитания одного числа из другого. При делении в десятичной системе счисления мы отнимаем определенное количество делителей из делимого, то есть, уменьшаем число на определенное количество и получаем необходимое число.

Например:

Вывод очевиден, деление во всех позиционных системах счисления происходит по одному и тому же принципу, для сравнения поделим двоичное число 1101102 на 112 и восьмеричное число 554768 на 58:

110110 11 55476 5

11 10010 - 5 11077

Так же для работы используются соответствующие таблицы умножения.

ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ

Системой счисления называется совокупность приёмов обозначения чисел, алфавитом которого являются символы (цифры), а синтаксисом - правило, позволяющее сформулировать запись чисел однозначно. Запись числа в некоторой системе счисления называется кодом числа.

Отдельную позицию в изображении числа принято называть разрядом, а номер позиции - номером разряда. Число разрядов в записи числа называется разрядностью и совпадает с его длиной.

Число - 1 0 0 1 0 1 1 0 1

Разряд - 8 7 6 5 4 3 2 1 0

Порядковому номеру разряда соответствует его вес — множитель, на который надо умножить значение разряда в данной системе счисления.

ПРИМЕРЫ

число 111 в десятичной системе:

число 101110 в двоичной системе:

равно 46 в десятичной системе

Основанием системы счисления называется количество различных символов (цифр), используемых в каждом из разрядов числа для его изображения в данной системе счисления.

Двоичная: 0,1 (основание = 2)
Десятичная: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 (основание = 10)
Шестнадцатеричная: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F (основании = 16)

Различают позиционные и непозиционные системы счисления.

Непозиционные - которые содержат неограниченное количество символов, причём количественный эквивалент любой цифры постоянен, и зависит только от её начертания. Позиция цифр в числе значения не имеет.

Пример:

I = 1
II = 2
III = 3
XXXI = 31

Позиционными называются системы счисления, алфавит которых содержит ограниченное количество символов, причём значение каждой цифры в числе определяется не только ее начертанием, но и находится в строгой зависимости от позиции в числе.

Пример:

111 = 100 + 10 + 1

ДВОИЧНАЯ СИСТЕМА

Под двоичной системой исчисления понимают систему счисления, в которой для изображения чисел используется 2 символа - 0 и 1. Двоичная система счисления является позиционной системой счисления с основанием 2. Таким образом, многоразразрядные числа в двоичной системе представляются как суммы различных степеней двойки. Если какой–либо разряд двоичного числа равен 1, то он называется значащим разрядом.

ПРАВИЛА ПЕРЕВОДА ИЗ ДЕСЯТИЧНОЙ СИСТЕМЫ В ДВОИЧНУЮ СИСТЕМУ

Чтобы перевести целое число из 10-ой в 2-ую систему нужно выполнить последовательное деление десятичного числа на 2 с округлением до целого числа в сторону уменьшения, записывая в столбик все результаты деления; затем возле каждого нечётного результата деления поставить 1, а возле чётного - 0. Полученное двоичное число записываем в строчку, начиная с нижней строчки правого столбца.

Например, необходимо перевести деятичное число 46 в двоичный вид:

Получаем число 101110

ПРАВИЛА ДВОИЧНОГО СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ

СЛОЖЕНИЕ

0+0=0
0+1=1
1+0=1
1+1=10

Результат последнего действия означает перенос единицы в высший разряд. То есть для увеличения или уменьшения двоичного числа на порядок применяются операция сдвига вправо или влево (SRR и SRL).

СЛОЖЕНИЕ В СТОЛБИК

УМНОЖЕНИЕ

Двоичная система

Двоичная система счисления - это позиционная система счисления с основанием 2. В этой системе счисления натуральные числа записываются с помощью всего лишь двух символов (в роли которых обычно выступают цифры 0 и 1).

Двоичная система используется в цифровых устройствах , поскольку является наиболее простой и соответствует требованиям:

• Чем меньше значений существует в системе, тем проще изготовить отдельные элементы, оперирующие этими значениями. В частности, две цифры двоичной системы счисления могут быть легко представлены многими физическими явлениями: есть ток - нет тока, индукция магнитного поля больше пороговой величины или нет и т. д.
• Чем меньше количество состояний у элемента, тем выше помехоустойчивость и тем быстрее он может работать. Например, чтобы закодировать три состояния через величину индукции магнитного поля, потребуется ввести два пороговых значения, что не будет способствовать помехоустойчивости и надёжности хранения информации.
• Двоичная арифметика является довольно простой. Простыми являются таблицы сложения и умножения - основных действий над числами.
• Возможно применение аппарата алгебры логики для выполнения побитовых операций над числами.

Ссылки

• Онлайн калькулятор для перевода чисел из одной системы счисления в другую

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое "Двоичная система" в других словарях:

ДВОИЧНАЯ СИСТЕМА, в математике система счисления, имеющая ОСНОВАНИЕ 2 (десятичная система имеет основание 10). Она наиболее пригодна для работы с компьютерами, поскольку отличается простотой и соответствует двум положениям (открытое 0 и закрытое… … Научно-технический энциклопедический словарь

двоичная система - — Тематики электросвязь, основные понятия EN binary system … Справочник технического переводчика

двоичная система - dvejetainė sistema statusas T sritis automatika atitikmenys: angl. binary system vok. Binärsystem, n rus. двоичная система, f pranc. système binaire, m … Automatikos terminų žodynas

двоичная система - dvejetainė sistema statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. binary system; dyadic system vok. Binärsystem, n; Dualsystem, n rus. двоичная система, f pranc. système binaire, m … Fizikos terminų žodynas

Жарг. студ. Шутл. Сильное опьянение. ПБС, 2002 … Большой словарь русских поговорок

Позиционная система счисления с основанием 2, в которой для записи чисел используются цифры 0 и 1. См. также: Позиционные системы счисления Финансовый словарь Финам … Финансовый словарь

ДВОИЧНАЯ система СЧИСЛЕНИЯ, способ записи чисел, при котором используются две цифры 0 и 1. Две единицы 1 го разряда (т.е. места, занимаемого в числе) образуют единицу 2 го разряда, две единицы 2 го разряда образуют единицу 3 го разряда и т.д.… … Современная энциклопедия

Двоичная система счисления - ДВОИЧНАЯ СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ, способ записи чисел, при котором используются две цифры 0 и 1. Две единицы 1 го разряда (т.е. места, занимаемого в числе) образуют единицу 2 го разряда, две единицы 2 го разряда образуют единицу 3 го разряда и т.д.… … Иллюстрированный энциклопедический словарь

Двоичная система исчисления - система, использующая для представления буквенно цифровых и иных символов наборы комбинаций цифр 1 и 0, основа используемых в цифровых ЭВМ кодов … Издательский словарь-справочник

ДВОИЧНАЯ СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ - позиционная система счисления с основанием 2, в которой имеются две цифры 0 и 1, и их последовательностями записываются все натуральные числа. Напр. цифра 2 записывается как 10, цифра 4 = 22 как 100, число 900 как 11 значное число: 11 110 101 000 … Большая политехническая энциклопедия