Анализ техники. Обратный маятник

Десерты

Схематическое изображение перевёрнутого маятника на тележке. Стержень не обладает массой. Массу тележки и массу шара на конце стержня обозначим через М и m . Стержень имеет длину l .

Перевёрнутый маятник представляет собой маятник , который имеет центр масс выше своей точки опоры, закреплённый на конце жёсткого стержня. Часто точка опоры закрепляется на тележке, которая может перемещаться по горизонтали. В то время как нормальный маятник устойчиво висит вниз, обратный маятник по своей природе неустойчивый и должен постоянно балансироваться чтобы оставаться в вертикальном положении, с помощью применения крутящего момента к опорной точке или при перемещении точки опоры по горизонтали, как части обратной связи системы. Простейшим демонстрационным примером может являться балансировка карандаша на конце пальца.

Обзор

Перевёрнутый маятник является классической проблемой динамики и теории управления и широко используется в качестве эталона для тестирования алгоритмов управления (ПИД-регуляторов , нейронных сетей , нечёткого управления и т. д.).

Проблема обратного маятника связана с наведением ракет, так как двигатель ракеты расположен ниже центра тяжести, вызывая нестабильность. Эта же проблема решена, например, в сегвее , самобалансирующемся транспортном устройстве.

Другим способом стабилизации обратного маятника является быстрое колебание основания в вертикальной плоскости. В этом случае можно обойтись без обратной связи. Если колебания достаточно сильные (в смысле величины ускорения и амплитуды), то обратный маятник может стабилизироваться. Если движущаяся точка колеблется в соответствии с простыми гармоническими колебаниями , то движение маятника описывается функцией Матьё .

Уравнения движения

С неподвижной точкой опоры

Уравнение движения аналогично прямому маятнику за исключением того, что знак углового положения, измеряется от вертикальной позиции неустойчивого равновесия :

θ ¨ − g ℓ sin ⁡ θ = 0 {\displaystyle {\ddot {\theta))-{g \over \ell }\sin \theta =0}

При переносе, он будет иметь тот же знак углового ускорения :

θ ¨ = g ℓ sin ⁡ θ {\displaystyle {\ddot {\theta))={g \over \ell }\sin \theta }

Таким образом, обратный маятник будет ускоряться от вертикального неустойчивого равновесия в противоположную сторону, а ускорение будет обратно пропорционально длине. Высокий маятник падает медленнее, чем короткий.

Маятник на тележке

Уравнения движения могут быть получены с использованием уравнений Лагранжа . Речь идёт об приведённом выше рисунке, где θ (t) {\displaystyle \theta (t)} угол маятника длиной l {\displaystyle l} по отношению к вертикали и действующей силе гравитации и внешних сил F {\displaystyle F} в направлении x {\displaystyle x} . Определим x (t) {\displaystyle x(t)} положение тележки. Лагранжиан L = T − V {\displaystyle L=T-V} системы:

L = 1 2 M v 1 2 + 1 2 m v 2 2 − m g ℓ cos ⁡ θ {\displaystyle L={\frac {1}{2))Mv_{1}^{2}+{\frac {1}{2))mv_{2}^{2}-mg\ell \cos \theta }

где является скоростью тележки, а - скорость материальной точки m {\displaystyle m} . v 1 {\displaystyle v_{1)) и v 2 {\displaystyle v_{2)) может быть выражена через x {\displaystyle x} и θ {\displaystyle \theta } путём записи скорости как первой производной положения.

v 1 2 = x ˙ 2 {\displaystyle v_{1}^{2}={\dot {x))^{2)) v 2 2 = (d d t (x − ℓ sin ⁡ θ)) 2 + (d d t (ℓ cos ⁡ θ)) 2 {\displaystyle v_{2}^{2}=\left({\frac {d}{dt)){\left(x-\ell \sin \theta \right)}\right)^{2}+\left({\frac {d}{dt)){\left(\ell \cos \theta \right)}\right)^{2))

Упрощение выражения v 2 {\displaystyle v_{2)) приводит к:

v 2 2 = x ˙ 2 − 2 ℓ x ˙ θ ˙ cos ⁡ θ + ℓ 2 θ ˙ 2 {\displaystyle v_{2}^{2}={\dot {x))^{2}-2\ell {\dot {x)){\dot {\theta))\cos \theta +\ell ^{2}{\dot {\theta))^{2))

Лагранжиан теперь определяется по формуле:

L = 1 2 (M + m) x ˙ 2 − m ℓ x ˙ θ ˙ cos ⁡ θ + 1 2 m ℓ 2 θ ˙ 2 − m g ℓ cos ⁡ θ {\displaystyle L={\frac {1}{2))\left(M+m\right){\dot {x))^{2}-m\ell {\dot {x)){\dot {\theta))\cos \theta +{\frac {1}{2))m\ell ^{2}{\dot {\theta))^{2}-mg\ell \cos \theta }

и уравнения движения:

d d t ∂ L ∂ x ˙ − ∂ L ∂ x = F {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t)){\partial {L} \over \partial {\dot {x))}-{\partial {L} \over \partial x}=F} d d t ∂ L ∂ θ ˙ − ∂ L ∂ θ = 0 {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t)){\partial {L} \over \partial {\dot {\theta))}-{\partial {L} \over \partial \theta }=0}

Подстановка L {\displaystyle L} в эти выражения с последующим упрощением приводит к уравнениям, описывающим движение обратного маятника:

(M + m) x ¨ − m ℓ θ ¨ cos ⁡ θ + m ℓ θ ˙ 2 sin ⁡ θ = F {\displaystyle \left(M+m\right){\ddot {x))-m\ell {\ddot {\theta))\cos \theta +m\ell {\dot {\theta))^{2}\sin \theta =F} ℓ θ ¨ − g sin ⁡ θ = x ¨ cos ⁡ θ {\displaystyle \ell {\ddot {\theta))-g\sin \theta ={\ddot {x))\cos \theta }

Эти уравнения являются нелинейными, но, поскольку цель системы управления - удерживать маятник вертикально, то уравнения можно линеаризовать, приняв θ ≈ 0 {\displaystyle \theta \approx 0} .

Маятник с колеблющимся основанием

Уравнение движения для такого маятника связано с безмассовой осциллирующей базой и получено так же, как для маятника на тележке. Положение материальной точки определяется по формуле:

(− ℓ sin ⁡ θ , y + ℓ cos ⁡ θ) {\displaystyle \left(-\ell \sin \theta ,y+\ell \cos \theta \right)}

и скорость найдена через первую производную позиции:

v 2 = y ˙ 2 − 2 ℓ y ˙ θ ˙ sin ⁡ θ + ℓ 2 θ ˙ 2 . {\displaystyle v^{2}={\dot {y))^{2}-2\ell {\dot {y)){\dot {\theta))\sin \theta +\ell ^{2}{\dot {\theta))^{2}.}

Лагранжиан для этой системы можно записать в виде:

L = 1 2 m (y ˙ 2 − 2 ℓ y ˙ θ ˙ sin ⁡ θ + ℓ 2 θ ˙ 2) − m g (y + ℓ cos ⁡ θ) {\displaystyle L={\frac {1}{2))m\left({\dot {y))^{2}-2\ell {\dot {y)){\dot {\theta))\sin \theta +\ell ^{2}{\dot {\theta))^{2}\right)-mg\left(y+\ell \cos \theta \right)}

уравнения движения следуют из:

d d t ∂ L ∂ θ ˙ − ∂ L ∂ θ = 0 {\displaystyle {\mathrm {d} \over \mathrm {d} t}{\partial {L} \over \partial {\dot {\theta))}-{\partial {L} \over \partial \theta }=0}

Материал из Википедии - свободной энциклопедии

Обзор

Уравнения движения

С неподвижной точкой опоры

$\ddot \theta - {g \over \ell} \sin \theta = 0$

При переносе, он будет иметь тот же знак углового ускорения :

$\ddot \theta = {g \over \ell} \sin \theta$

Маятник на тележке

Уравнения движения могут быть получены с использованием уравнений Лагранжа . Речь идёт об приведённом выше рисунке, где $\theta(t)$ угол маятника длиной $l$ по отношению к вертикали и действующей силе гравитации и внешних сил $F$ в направлении $x$ . Определим $x(t)$ положение тележки. Лагранжиан $L = T - V$ системы:

L = \frac{1}{2} M v_1^2 + \frac{1}{2} m v_2^2 - m g \ell\cos\theta где $v_1$ является скоростью тележки, а $v_2$ - скорость материальной точки $m$ . $v_1$ и $v_2$ может быть выражена через $x$ и $\theta$ путём записи скорости как первой производной положения.

v_1^2=\dot x^2

v_2^2=\left({\frac{d}{dt}}{\left(x- \ell\sin\theta\right)}\right)^2 + \left({\frac{d}{dt}}{\left(\ell\cos\theta \right)}\right)^2 Упрощение выражения $v_2$ приводит к:

v_2^2= \dot x^2 -2 \ell \dot x \dot \theta\cos \theta + \ell^2\dot \theta^2

Лагранжиан теперь определяется по формуле:

L = \frac{1}{2} \left(M+m \right) \dot x^2 -m \ell \dot x \dot\theta\cos\theta + \frac{1}{2} m \ell^2 \dot \theta^2-m g \ell\cos \theta и уравнения движения:

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}{\partial{L}\over \partial{\dot x}} - {\partial{L}\over \partial x} = F

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}{\partial{L}\over \partial{\dot \theta}} - {\partial{L}\over \partial \theta} = 0 Подстановка $L$ в эти выражения с последующим упрощением приводит к уравнениям, описывающим движение обратного маятника:

\left (M + m \right) \ddot x - m \ell \ddot \theta \cos \theta + m \ell \dot \theta^2 \sin \theta = F

\ell \ddot \theta - g \sin \theta = \ddot x \cos \theta Эти уравнения являются нелинейными, но, поскольку цель системы управления - удерживать маятник вертикально, то уравнения можно линеаризовать, приняв $\theta \approx 0$ .

Маятник с колеблющимся основанием

$\left(-\ell \sin \theta , y + \ell \cos \theta \right)$

и скорость найдена через первую производную позиции:

$v^2=\dot y^2-2 \ell \dot y \dot \theta \sin \theta + \ell^2\dot \theta ^2.$ $\ddot \theta - {g \over \ell} \sin \theta = -{A \over \ell} \omega^2 \sin \omega t \sin \theta.$

Это уравнение не имеет элементарного решения в замкнутом виде, но может быть изучено во множестве направлений. Оно близкого к уравнению Матье , например, когда амплитуда колебаний мала. Анализ показывает, что маятник остается в вертикальном положении при быстрых колебаниях. Первый график показывает, что при медленно колеблющимся $y$ , маятник быстро падает, после выхода из устойчивого вертикального положения.
Если $y$ быстро колеблется, то маятник может быть стабилен около вертикальной позиции. Второй график показывает, что, после выхода из устойчивого вертикального положения, маятник теперь начинается колебаться вокруг вертикальной позиции ( $\theta = 0$ ).Отклонение от вертикального положения остается мало, и маятник не падает.

Применение

Примером является балансировка людей и предметов, например в акробатике или катание на одноколесном велосипеде . А также сегве́й - электрический самобалансирующийся самокат с двумя колёсами. Перевернутый маятник был центральным компонентом в разработке нескольких ранних сейсмографов .

См. также

Ссылки

D. Liberzon Switching in Systems and Control (2003 Springer) pp. 89ff

Дальнейшее чтение

Franklin; et al. (2005). Feedback control of dynamic systems, 5, Prentice Hall. ISBN 0-13-149930-0

Напишите отзыв о статье "Обратный маятник"

Ссылки

Отрывок, характеризующий Обратный маятник

– Это брат Безуховой – Анатоль Курагин, – сказала она, указывая на красавца кавалергарда, который прошел мимо их, с высоты поднятой головы через дам глядя куда то. – Как хорош! неправда ли? Говорят, женят его на этой богатой. .И ваш то соusin, Друбецкой, тоже очень увивается. Говорят, миллионы. – Как же, это сам французский посланник, – отвечала она о Коленкуре на вопрос графини, кто это. – Посмотрите, как царь какой нибудь. А всё таки милы, очень милы французы. Нет милей для общества. А вот и она! Нет, всё лучше всех наша Марья то Антоновна! И как просто одета. Прелесть! – А этот то, толстый, в очках, фармазон всемирный, – сказала Перонская, указывая на Безухова. – С женою то его рядом поставьте: то то шут гороховый!
Пьер шел, переваливаясь своим толстым телом, раздвигая толпу, кивая направо и налево так же небрежно и добродушно, как бы он шел по толпе базара. Он продвигался через толпу, очевидно отыскивая кого то.
Наташа с радостью смотрела на знакомое лицо Пьера, этого шута горохового, как называла его Перонская, и знала, что Пьер их, и в особенности ее, отыскивал в толпе. Пьер обещал ей быть на бале и представить ей кавалеров.
Но, не дойдя до них, Безухой остановился подле невысокого, очень красивого брюнета в белом мундире, который, стоя у окна, разговаривал с каким то высоким мужчиной в звездах и ленте. Наташа тотчас же узнала невысокого молодого человека в белом мундире: это был Болконский, который показался ей очень помолодевшим, повеселевшим и похорошевшим.
– Вот еще знакомый, Болконский, видите, мама? – сказала Наташа, указывая на князя Андрея. – Помните, он у нас ночевал в Отрадном.
– А, вы его знаете? – сказала Перонская. – Терпеть не могу. Il fait a present la pluie et le beau temps. [От него теперь зависит дождливая или хорошая погода. (Франц. пословица, имеющая значение, что он имеет успех.)] И гордость такая, что границ нет! По папеньке пошел. И связался с Сперанским, какие то проекты пишут. Смотрите, как с дамами обращается! Она с ним говорит, а он отвернулся, – сказала она, указывая на него. – Я бы его отделала, если бы он со мной так поступил, как с этими дамами.

Вдруг всё зашевелилось, толпа заговорила, подвинулась, опять раздвинулась, и между двух расступившихся рядов, при звуках заигравшей музыки, вошел государь. За ним шли хозяин и хозяйка. Государь шел быстро, кланяясь направо и налево, как бы стараясь скорее избавиться от этой первой минуты встречи. Музыканты играли Польской, известный тогда по словам, сочиненным на него. Слова эти начинались: «Александр, Елизавета, восхищаете вы нас…» Государь прошел в гостиную, толпа хлынула к дверям; несколько лиц с изменившимися выражениями поспешно прошли туда и назад. Толпа опять отхлынула от дверей гостиной, в которой показался государь, разговаривая с хозяйкой. Какой то молодой человек с растерянным видом наступал на дам, прося их посторониться. Некоторые дамы с лицами, выражавшими совершенную забывчивость всех условий света, портя свои туалеты, теснились вперед. Мужчины стали подходить к дамам и строиться в пары Польского.
Всё расступилось, и государь, улыбаясь и не в такт ведя за руку хозяйку дома, вышел из дверей гостиной. За ним шли хозяин с М. А. Нарышкиной, потом посланники, министры, разные генералы, которых не умолкая называла Перонская. Больше половины дам имели кавалеров и шли или приготовлялись итти в Польской. Наташа чувствовала, что она оставалась с матерью и Соней в числе меньшей части дам, оттесненных к стене и не взятых в Польской. Она стояла, опустив свои тоненькие руки, и с мерно поднимающейся, чуть определенной грудью, сдерживая дыхание, блестящими, испуганными глазами глядела перед собой, с выражением готовности на величайшую радость и на величайшее горе. Ее не занимали ни государь, ни все важные лица, на которых указывала Перонская – у ней была одна мысль: «неужели так никто не подойдет ко мне, неужели я не буду танцовать между первыми, неужели меня не заметят все эти мужчины, которые теперь, кажется, и не видят меня, а ежели смотрят на меня, то смотрят с таким выражением, как будто говорят: А! это не она, так и нечего смотреть. Нет, это не может быть!» – думала она. – «Они должны же знать, как мне хочется танцовать, как я отлично танцую, и как им весело будет танцовать со мною».
Звуки Польского, продолжавшегося довольно долго, уже начинали звучать грустно, – воспоминанием в ушах Наташи. Ей хотелось плакать. Перонская отошла от них. Граф был на другом конце залы, графиня, Соня и она стояли одни как в лесу в этой чуждой толпе, никому неинтересные и ненужные. Князь Андрей прошел с какой то дамой мимо них, очевидно их не узнавая. Красавец Анатоль, улыбаясь, что то говорил даме, которую он вел, и взглянул на лицо Наташе тем взглядом, каким глядят на стены. Борис два раза прошел мимо них и всякий раз отворачивался. Берг с женою, не танцовавшие, подошли к ним.
Наташе показалось оскорбительно это семейное сближение здесь, на бале, как будто не было другого места для семейных разговоров, кроме как на бале. Она не слушала и не смотрела на Веру, что то говорившую ей про свое зеленое платье.
Наконец государь остановился подле своей последней дамы (он танцовал с тремя), музыка замолкла; озабоченный адъютант набежал на Ростовых, прося их еще куда то посторониться, хотя они стояли у стены, и с хор раздались отчетливые, осторожные и увлекательно мерные звуки вальса. Государь с улыбкой взглянул на залу. Прошла минута – никто еще не начинал. Адъютант распорядитель подошел к графине Безуховой и пригласил ее. Она улыбаясь подняла руку и положила ее, не глядя на него, на плечо адъютанта. Адъютант распорядитель, мастер своего дела, уверенно, неторопливо и мерно, крепко обняв свою даму, пустился с ней сначала глиссадом, по краю круга, на углу залы подхватил ее левую руку, повернул ее, и из за всё убыстряющихся звуков музыки слышны были только мерные щелчки шпор быстрых и ловких ног адъютанта, и через каждые три такта на повороте как бы вспыхивало развеваясь бархатное платье его дамы. Наташа смотрела на них и готова была плакать, что это не она танцует этот первый тур вальса.
Князь Андрей в своем полковничьем, белом (по кавалерии) мундире, в чулках и башмаках, оживленный и веселый, стоял в первых рядах круга, недалеко от Ростовых. Барон Фиргоф говорил с ним о завтрашнем, предполагаемом первом заседании государственного совета. Князь Андрей, как человек близкий Сперанскому и участвующий в работах законодательной комиссии, мог дать верные сведения о заседании завтрашнего дня, о котором ходили различные толки. Но он не слушал того, что ему говорил Фиргоф, и глядел то на государя, то на сбиравшихся танцовать кавалеров, не решавшихся вступить в круг.

Нашелся еще один, необычный подход к описанию горнолыжной техники, также НЕ связанный с движениями в шарнирной системе, соответствующей частям тела лыжника. Он основан на модели перевернутого маятника, называемого также "обратным маятником", или "маятником Уитни".
Это очень интересный объект теоретической механики, исходно задача Уитни формулировалась так: предположим, что на тележке установлен перевернутый материальный маятник, тележка движется прямолинейно, но НЕ равномерно. Требуется найти исходное положение маятника, такое, что он НЕ упадет на тележку, если заранее известна зависимость скорости от времени, при непрерывности ее 2-й производной.

Задача Уитни, до сих пор интересует математиков, но намного важней обратная задача: динамическое управление движением тележки, такое, что маятник сохраняет заданное исходное положение, или колеблется около него. Эта задача важна для робототехники, навигации, автоматизации производства, ориентации космических аппаратов, она также реализуется и при обычной ходьбе.
Но задачу можно обобщить: на маятник с 2-мя степенями свободы, опора которого двигается уже по произвольной, криволинейной траектории, с переменной скоростью, но также при условии непрерывности 2-х производных. Самый простой пример обобщенного обратного маятника: поставим на ладонь длинный стержень, и будем удерживать его в неустойчивом положении, двигая рукой по произвольной траектории.
Если обобщать дальше, то можно сделать маятник с переменной длиной: при этом его собственная частота будет меняться, задача становится намного сложней. Это уже общая модель неустойчивого равновесия механической системы, например человека на канате. Но эту задачу также можно поставить по другому: обеспечить равновесие маятника, при неравномерном движении опоры по заданной криволинейной траектории, за счет активного изменения наклона и длины маятника. Мы видим: в такой постановке, задача полностью соответствует движению горнолыжника по трассе!
Выяснилось: что еще в 1973 году, польский математик, Януш Моравский описал механику горнолыжника с помощью обратного маятника, но эта работа была забыта на 40 лет.

Модель Я.Моравского была не совершенной: он не учитывал боковое проскальзывание опоры маятника, которое было необходимым в горнолыжной технике начала 1970-х годов. Но у современных спортсменов высокого уровня, техника уже не связана с проскальзыванием, и модель более точно соответствует реальности.
Новые исследования обратного маятника начались с решения узкой, практической задачи: упростить проведение экспериментов по изучению горнолыжной техники. Обычно, для изучения движений горнолыжников, необходимо непрерывно фиксировать его положение, и множество сил, действующих на лыжи, и самого лыжника, требуется сложное оборудование и долгая подготовка экспериментов.

В 2013 году, Матиас Гилгиен, известный специалист по лыжной механике, доказал: если известна траектория центра масс относительно поверхности снега, то по модели обобщенного обратного маятника можно вычислить траекторию лыж, и также все действующие силы во время спуска. В результате, все сложное измерительное оборудование можно заменить обычным GPS-навигатором!
Эксперимент проводился с геодезическим навигатором, работавшим по методу дифференциальной навигации, с точностью определения координат: 1 см в горизонтальной плоскости, и 2 см по вертикали. Использовалась также подробная 3D-модель местности, полученная с помощью геодезического сканера. Сейчас, для некоторых районов США и Европы, в открытом доступе, есть аналогичные по точности спутниковые 3D-карты, зона их покрытия быстро увеличивается.

С учетом микро-рельефа, непрерывно меняющегося на склоне, точность высот, составляет 10-20 см, те. на порядок ниже точности навигации. Антенна навигатора находилась на шлеме лыжника, положение ЦМ вычислялось на основе предыдущих результатов Роберта Рейда, который выяснил: у спортсменов уровня сборных, ЦМ не отклоняется далеко от прямой, проходящей через середину шеи, и середину расстояния между лыжами. А лыжник, при повороте старается держать голову вертикально, середина шеи находится примерно под антенной. Расстояние "поверхность-ЦМ" всегда составляет примерно 0.45-0.5 расстояния "поверхность-голова", иногда ЦМ может отклоняться от этого положения, но с учетом точности представления поверхности, ошибки в вычислении положения ЦМ, не являются значимыми, сильные отклонения бывают только при грубых ошибках с потерей равновесия.

Если лыжник описывается моделью обобщенного обратного маятника, с переменной длиной, то по известной траектории, и скорости ЦМ относительно поверхности, можно вычислить углы его отклонения от вертикального положения, такие, что маятник не падает. Также можно и получить траекторию опоры: точки на середине расстояния между креплениями лыж. А из положения ЦМ относительно опоры можно получить центровку лыжника в продольном направлении, и наклон к центру поворота, хотя нельзя вычислить положение частей тела и относительную загрузку лыж.
Параллельно с измерениями по GPS, на контрольном участке установили обычное оборудование, которое используется при исследованиях горнолыжной техники методами MOCAP, на основе модели шарнирной системы, с вычислением динамики частей тела по давно проверенным методам. Собранные данные о движении ЦМ затем сравнивались: они оказались очень близки, сильные расхождения есть только на участках между поворотами, на которых длина маятника резко меняется, при разгрузке.

Но задача не сводилась к построению новой модели движения ЦМ, не зависимого от положения лыжника: это никому не нужно! Практическая цель: на основе модели обратного маятника получить внешние силы, действующие на лыжника и лыжи: реакцию поверхности, сопротивление снега, и аэродинамическое сопротивление. Доктор М. Гилгиен и его сотрудники получили уравнения всех сил, и сравнили с значениями, которые вычислялись по динамике частей тела. На графике реакции поверхности, взятом для примера: синяя кривая показывает силу, вычисленную по модели обратного маятника, красная по модели шарнирной системы, в качестве эталона.

Швейцарский ученый, Рольф Адельсбергер, провел аналогичный эксперимент, но измерял также деформацию лыж при спуске, с помощью датчиков, наклеенных на лыжи. Результаты измерений соответствовали силам, которые вычислялись также на основе данных GPS, по методу М.Гилгиена, это доказывает корректность метода.

Словенский математик, Боян Немец, также изучал модель обратного маятника со спортсменами сборной Словении, но установил антенну на шее лыжника, для лучшего приближения положения ЦМ. Он получил уравнение пространственного угла наклона: в зависимости от действующих ускорений и длины маятника.

Мы видим: уравнение намного сложней, чем простые формулы углов, которые обсуждаются постоянно на горнолыжных сайтах! Но это уравнение получено на основе экспериментальных данных, и более точно соответствует реальным процессам, которые происходят при спуске. Была также получена поправка, для точного определения положения ЦМ, но выяснилось: она не очень велика, и укладывается в точность измерений поверхности, как раньше предположил М.Гилгиен.

Профессор Б.Немец также заметил сильные расхождения на участках разгрузки, и предположил: ошибка связана с линейным законом изменения длины маятника. Если ввести продольную упругость, то длина будет изменяться нелинейно, и ошибки резко уменьшатся. Но при этом, маятник получит новую степень свободы: длина будет стремиться к гармоническим колебаниям, это требует полной переработки модели, Б.Немец планирует сделать это в следующих работах. Главная проблема: введение коэффициента упругости, от которого зависит собственная частота продольных колебаний, ведь возможно, что величина коэффициента также не постоянна.

При этом возможно получение нового эффекта: если опора маятника вибрирует в вертикальном направлении, с высокой частотой и маленькой амплитудой, то возникает дополнительная сила, которая удерживает маятник в вертикальном равновесии: это явление обнаружил П.Капица, и определил минимальную частоту колебаний, и их предельную амплитуду. В ответ на единичный удар по упругой поверхности, возникают затухающие колебания, следовательно обратный маятник, установленный на упругой опоре, также будет находиться в равновесии, но очень короткое время после удара: до затухания колебаний. Аналогичное явление возможно при резком изменении нагрузки на лыжи, но их продольная упругость зависит от величины изгиба, задача усложняется еще больше.

Но вычисление сил также не являлось конечной целью: доктор М.Гилгиен получил нагрузки на колени лыжника, которые могут приводить к травмам суставов. Его метод позволяет получить оценку трассы, с точки зрения безопасности, только на основе данных GPS во время контрольных проездов.
Другим направлением является, как всегда, создание инструмента для тренеров, непрерывно отображающего динамику лыжника, которая скрыта от прямого наблюдения: условий равновесия, действующих ускорений и сил. Этот метод не требует сложного, дорогого оборудования, ведь даже очень дорогой приемник GPS в разы дешевле систем MOCAP, или инерциальных датчиков, и намного проще в использовании.

Мы видим: старая идея, описывать горнолыжную технику без связи с движениями лыжника, все таки не забыта, несмотря на появление новых технологий. Возможно, что мы рано попрощались с милыми сферическими конями.

Удачи и равновесия!

Обзор

Уравнения движения

С неподвижной точкой опоры

texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \ddot \theta - {g \over \ell} \sin \theta = 0

При переносе, он будет иметь тот же знак углового ускорения :

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \ddot \theta = {g \over \ell} \sin \theta

Маятник на тележке

Уравнения движения могут быть получены с использованием уравнений Лагранжа . Речь идёт об приведённом выше рисунке, где Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \theta(t) угол маятника длиной Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): l по отношению к вертикали и действующей силе гравитации и внешних сил Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): F в направлении Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc . Определим Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): x(t) положение тележки. Лагранжиан Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): L = T - V системы:

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): L = \frac{1}{2} M v_1^2 + \frac{1}{2} m v_2^2 - m g \ell\cos\theta

где Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc является скоростью тележки, а Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc - скорость материальной точки Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): m . Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): v_1 и Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): v_2 может быть выражена через Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): x и Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \theta путём записи скорости как первой производной положения.

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): v_1^2=\dot x^2 Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): v_2^2=\left({\frac{d}{dt}}{\left(x- \ell\sin\theta\right)}\right)^2 + \left({\frac{d}{dt}}{\left(\ell\cos\theta \right)}\right)^2

Упрощение выражения Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): v_2 приводит к:

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): v_2^2= \dot x^2 -2 \ell \dot x \dot \theta\cos \theta + \ell^2\dot \theta^2

Лагранжиан теперь определяется по формуле:

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): L = \frac{1}{2} \left(M+m \right) \dot x^2 -m \ell \dot x \dot\theta\cos\theta + \frac{1}{2} m \ell^2 \dot \theta^2-m g \ell\cos \theta

и уравнения движения:

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}{\partial{L}\over \partial{\dot x}} - {\partial{L}\over \partial x} = F Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}{\partial{L}\over \partial{\dot \theta}} - {\partial{L}\over \partial \theta} = 0

Подстановка Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): L в эти выражения с последующим упрощением приводит к уравнениям, описывающим движение обратного маятника:

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \left (M + m \right) \ddot x - m \ell \ddot \theta \cos \theta + m \ell \dot \theta^2 \sin \theta = F Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \ell \ddot \theta - g \sin \theta = \ddot x \cos \theta

Эти уравнения являются нелинейными, но, поскольку цель системы управления - удерживать маятник вертикально, то уравнения можно линеаризовать, приняв Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \theta \approx 0 .

Маятник с колеблющимся основанием

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \left(-\ell \sin \theta , y + \ell \cos \theta \right)

и скорость найдена через первую производную позиции:

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): v^2=\dot y^2-2 \ell \dot y \dot \theta \sin \theta + \ell^2\dot \theta ^2. Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \ddot \theta - {g \over \ell} \sin \theta = -{A \over \ell} \omega^2 \sin \omega t \sin \theta.

Это уравнение не имеет элементарного решения в замкнутом виде, но может быть изучено во множестве направлений. Оно близкого к уравнению Матье , например, когда амплитуда колебаний мала. Анализ показывает, что маятник остается в вертикальном положении при быстрых колебаниях. Первый график показывает, что при медленно колеблющимся Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc , маятник быстро падает, после выхода из устойчивого вертикального положения.
Если Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): y быстро колеблется, то маятник может быть стабилен около вертикальной позиции. Второй график показывает, что, после выхода из устойчивого вертикального положения, маятник теперь начинается колебаться вокруг вертикальной позиции (Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \theta = 0 ).Отклонение от вертикального положения остается мало, и маятник не падает.

Применение

Перевернутый маятник был центральным компонентом в разработке нескольких ранних сейсмографов .

См. также

Ссылки

D. Liberzon Switching in Systems and Control (2003 Springer) pp. 89ff

Дальнейшее чтение

Franklin; et al. (2005). Feedback control of dynamic systems, 5, Prentice Hall. ISBN 0-13-149930-0

Напишите отзыв о статье "Обратный маятник"

Ссылки

Отрывок, характеризующий Обратный маятник

С ними была сослана также дедушкина сестра Александра Оболенская (позже – Alexis Obolensky) и, добровольно поехавшие, Василий и Анна Серёгины, которые последовали за дедушкой по собственному выбору, так как Василий Никандрович долгие годы был дедушкиным поверенным во всех его делах и одним из самых его близких друзей.

Aлександра (Alexis) Оболенская Василий и Анна Серёгины

Наверное, надо было быть по-настоящему ДРУГОМ, чтобы найти в себе силы сделать подобный выбор и поехать по собственному желанию туда, куда ехали, как едут только на собственную смерть. И этой «смертью», к сожалению, тогда называлась Сибирь...
Мне всегда было очень грустно и больно за нашу, такую гордую, но так безжалостно большевистскими сапогами растоптанную, красавицу Сибирь!.. Её, точно так же, как и многое другое, «чёрные» силы превратили в проклятое людьми, пугающее «земное пекло»… И никакими словами не рассказать, сколько страданий, боли, жизней и слёз впитала в себя эта гордая, но до предела измученная, земля... Не потому ли, что когда-то она была сердцем нашей прародины, «дальновидные революционеры» решили очернить и погубить эту землю, выбрав именно её для своих дьявольских целей?... Ведь для очень многих людей, даже спустя много лет, Сибирь всё ещё оставалась «проклятой» землёй, где погиб чей-то отец, чей-то брат, чей-то сын… или может быть даже вся чья-то семья.
Моя бабушка, которую я, к моему большому огорчению, никогда не знала, в то время была беременна папой и дорогу переносила очень тяжело. Но, конечно же, помощи ждать ниоткуда не приходилось... Так молодая княжна Елена, вместо тихого шелеста книг в семейной библиотеке или привычных звуков фортепиано, когда она играла свои любимые произведения, слушала на этот раз лишь зловещий стук колёс, которые как бы грозно отсчитывали оставшиеся часы её, такой хрупкой, и ставшей настоящим кошмаром, жизни… Она сидела на каких-то мешках у грязного вагонного окна и неотрывно смотрела на уходящие всё дальше и дальше последние жалкие следы так хорошо ей знакомой и привычной «цивилизации»...
Дедушкиной сестре, Александре, с помощью друзей, на одной из остановок удалось бежать. По общему согласию, она должна была добраться (если повезёт) до Франции, где на данный момент жила вся её семья. Правда, никто из присутствующих не представлял, каким образом она могла бы это сделать, но так как это была их единственная, хоть и маленькая, но наверняка последняя надежда, то отказаться от неё было слишком большой роскошью для их совершенно безвыходного положения. Во Франции в тот момент находился также и муж Александры – Дмитрий, с помощью которого они надеялись, уже оттуда, попытаться помочь дедушкиной семье выбраться из того кошмара, в который их так безжалостно швырнула жизнь, подлыми руками озверевших людей...
По прибытию в Курган, их поселили в холодный подвал, ничего не объясняя и не отвечая ни на какие вопросы. Через два дня какие-то люди пришли за дедушкой, и заявили, что якобы они пришли «эскортировать» его в другой «пункт назначения»... Его забрали, как преступника, не разрешив взять с собой никаких вещей, и не изволив объяснить, куда и на сколько его везут. Больше дедушку не видел никто и никогда. Спустя какое-то время, неизвестный военный принёс бабушке дедовы личные вещи в грязном мешке из под угля... не объяснив ничего и не оставив никакой надежды увидеть его живым. На этом любые сведения о дедушкиной судьбе прекратились, как будто он исчез с лица земли без всяких следов и доказательств...
Истерзанное, измученное сердце бедной княжны Елены не желало смириться с такой жуткой потерей, и она буквально засыпала местного штабного офицера просьбами о выяснении обстоятельств гибели своего любимого Николая. Но «красные» офицеры были слепы и глухи к просьбам одинокой женщины, как они её звали – «из благородных», которая являлась для них всего лишь одной из тысяч и тысяч безымянных «номерных» единиц, ничего не значащих в их холодном и жестоком мире…Это было настоящее пекло, из которого не было выхода назад в тот привычный и добрый мир, в котором остался её дом, её друзья, и всё то, к чему она с малых лет была привычна, и что так сильно и искренне любила... И не было никого, кто мог бы помочь или хотя бы дал малейшую надежду выжить.
Серёгины пытались сохранять присутствие духа за троих, и старались любыми способами поднять настроение княжны Елены, но она всё глубже и глубже входила в почти что полное оцепенение, и иногда сидела целыми днями в безразлично-замороженном состоянии, почти не реагируя на попытки друзей спасти её сердце и ум от окончательной депрессии. Были только две вещи, которые ненадолго возвращали её в реальный мир – если кто-то заводил разговор о её будущем ребёнке или, если приходили любые, хоть малейшие, новые подробности о предполагаемой гибели её горячо любимого Николая. Она отчаянно желала узнать (пока ещё была жива), что же по-настоящему случилось, и где находился её муж или хотя бы где было похоронено (или брошено) его тело.
К сожалению, не осталось почти никакой информации о жизни этих двух мужественных и светлых людей, Елены и Николая де Роган-Гессе-Оболенских, но даже те несколько строчек из двух оставшихся писем Елены к её невестке – Александре, которые каким-то образом сохранились в семейных архивах Александры во Франции, показывают, как глубоко и нежно любила своего пропавшего мужа княжна. Сохранилось всего несколько рукописных листов, некоторые строчки которых, к сожалению, вообще невозможно разобрать. Но даже то, что удалось – кричит глубокой болью о большой человеческой беде, которую, не испытав, нелегко понять и невозможно принять.

12 апреля, 1927 года. Из письма княжны Елены к Александре (Alix) Оболенской:
«Сегодня очень устала. Вернулась из Синячихи совершенно разбитой. Вагоны забиты людьми, даже везти скот в них было бы стыдно………………………….. Останавливались в лесу – там так вкусно пахло грибами и земляникой... Трудно поверить, что именно там убивали этих несчастных! Бедная Эллочка (имеется в виду великая княгиня Елизавета Фёдоровна, которая являлась роднёй моего дедушки по линии Гессе) была убита здесь рядом, в этой жуткой Староселимской шахте… какой ужас! Моя душа не может принять такое. Помнишь, мы говорили: «пусть земля будет пухом»?.. Великий Боже, как же может быть пухом такая земля?!..
О, Аlix, моя милая Alix! Как же можно свыкнуться с таким ужасом? ...................... ..................... я так устала просить и унижаться… Всё будет совершенно бесполезно, если ЧК не согласится послать запрос в Алапаевск.................. Я никогда не узнаю где его искать, и никогда не узнаю, что они с ним сотворили. Не проходит и часа, чтобы я не думала о таком родном для меня лице... Какой это ужас представлять, что он лежит в какой-то заброшенной яме или на дне рудника!.. Как можно вынести этот каждодневный кошмар, зная, что уже не увижу его никогда?!.. Так же, как никогда не увидит мой бедный Василёк (имя, которое было дано при рождении моему папе)... Где же предел жестокости? И почему они называют себя людьми?..

DOI: 10.14529/mmph170306

СТАБИЛИЗАЦИЯ ОБРАТНОГО МАЯТНИКА НА ДВУХКОЛЕСНОМ ТРАНСПОРТНОМ СРЕДСТВЕ

В.И. Ряжских1, М.Е. Семенов2, А.Г. Рукавицын3, О.И. Канищева4, А.А. Демчук4, П.А. Мелешенко3

1 Воронежский государственный технический университет, г. Воронеж, Российская Федерация

2 Воронежский государственный архитектурно-строительный университет, г. Воронеж, Российская Федерация

3 Воронежский государственный университет, г. Воронеж, Российская Федерация

4 Военный учебно-научный центр Военно-воздушных сил «Военно-воздушная академия имени профессора Н.Е. Жуковского и Ю.А. Гагарина», г. Воронеж, Российская Федерация

E-mail: [email protected]

Рассматривается механическая система, состоящая из двухколесной тележки, на оси которой располагается обратный маятник. Задача заключается в формировании такого управляющего воздействия, формируемого по принципу обратной связи, которое, с одной стороны, обеспечивало бы заданный закон движения механического средства, а с другой, стабилизировало бы неустойчивое положение маятника.

Ключевые слова: механическая система; двухколесное транспортное средство; обратный маятник; люфт; стабилизация; управление.

Введение

Возможность управления неустойчивыми техническими системами теоретически рассматривалась уже давно, однако практическая значимость такого управления отчетливо проявилась лишь в последнее время . Оказалось, что неустойчивые объекты управления при подходящем управлении обладают рядом «полезных» качеств. Примерами таких объектов могут служить космический корабль на этапе взлета, термоядерный реактор и многие другие. В тоже время при выходе из строя автоматической системы управления неустойчивый объект может представлять собой существенную угрозу, опасность и для человека, и для окружающей среды. В качестве катастрофического примера результатов отключения автоматического управления можно привести аварию на Чернобыльской АЭС. По мере того, как системы управления становятся все более надежными, все более широкий круг технических неустойчивых в отсутствие управления объектов применяется на практике. Одним из самых простых примеров неустойчивых объектов является классический обратный маятник. С одной стороны, задача о его стабилизации сравнительно простая и наглядная, с другой, она может найти практическое применение при создании моделей двуногих существ, а также антропоморфных устройств (роботов, киберов и др.), перемещающихся на двух опорах. В последние годы появились работы, посвященные проблемам стабилизации обратного маятника, связанного с движущимся двухколесным транспортным средством . Эти исследования имеют потенциальные перспективы применения во многих областях, таких как транспорт и разведка, в связи с компактной конструкцией, удобством эксплуатации, высокой маневренностью и низким расходом топлива таких устройств. Тем не менее, рассматриваемая задача еще далека от окончательного решения. Известно, что многие традиционные технические устройства имеют как устойчивые, так и не устойчивые состояния и режимы работы. Характерный пример - сегвей, изобретённый Дином Кейменом электрический самобалансирующийся самокат с двумя колёсами, расположенными по обе стороны от водителя. Два колеса скутера расположены соосно. Сегвей автоматически балансируется при изменении положения корпуса водителя; для этой цели используется система индикаторной стабилизации: сигналы с гироскопических и жидкостных датчиков наклона поступают на микропроцессоры, которые вырабатывают электрические сигналы, воздействующие на двигатели и управляющие их движениями. Каждое колесо сегвея приводится во вращение своим электродвигателем, реагирующим на изменения равновесия машины. При наклоне тела ездока вперёд сегвей начинает катиться вперёд, при увеличении же угла наклона тела ездока скорость сегвея увеличивается. При отклонении корпуса назад само-

кат замедляет движение, останавливается или катится задним ходом. Руление в первой модели происходит с помощью поворотной рукоятки, в новых моделях - качанием колонки влево-вправо. Задачи управления колебательными механическими системами имеют значительный теоретический интерес и большое практическое значение.

Известно, что в процессе функционирования механических систем вследствие старения и износа деталей неизбежно возникают люфты, упоры, поэтому для описания динамики таких систем необходимо принимать во внимание влияние гистерезисных эффектов. Математические модели таких нелинейностей в соответствии с классическими представлениями сводятся к операторам, которые рассматриваются как преобразователи на соответствующих функциональных пространствах. Динамика таких преобразователей описывается отношениями «вход-состояние» и «состояние-выход» .

Постановка задачи

В настоящей работе рассматривается механическая система, состоящая из двухколесной тележки, на оси которой располагается обратный маятник. Задача заключается в формировании такого управляющего воздействия, которое, с одной стороны, обеспечивало бы заданный закон движения механического средства, а с другой, стабилизировало бы неустойчивое положение маятника. При этом учитываются гистерезисные свойства в управляющем контуре изучаемой системы. Ниже графически представлены элементы, изучаемой механической системы - двухколесного транспортного средства с закрепленным на нем обратным маятником.

Рис. 1. Основные структурные элементы рассматриваемого механического устройства

тут / 1 / I feili / Fr I

" 1 " \ 1 \ 1 i R J

Hr ! / / / / /1 / / /

Рис. 2. Левое и правое колеса механического устройства с управляюшим моментом

Параметры и переменные, которые описывают рассматриваемую систему: j - угол поворота транспортного средства; D - расстояние между двумя колесами вдоль центра оси; R - радиус колес; Jj - момент инерции; Tw - разность крутящих моментов левого и правого колес; v -

продольная скорость транспортного средства; в - угол отклонения маятника от вертикального положения; m - масса перевернутого маятника; l - расстояние между центром тяжести тела и

осью колеса; Ти - сумма крутящих моментов левого и правого колес; х - перемещение транспортного средства по направлению продольной скорости; М - масса шасси; М* - масса колес; И - раствор люфта.

Динамика системы

Динамику системы описывают следующие уравнения:

n = - + - Tn, W в á WR n

в = - - ml C0S в Tn,

где Т* = Ть - ТЯ; Тп = Ть + ТЯ; Мх =М + т + 2(М* + ^*); 1в = т/2 + 1С; 0.=Мх1в-т2/2 соъ2 в;

<Р* = Рл С)Л = ^ С № = ^ О. (4)

Модель, описывающую динамику изменения параметров системы, можно представить в виде двух независимых подсистем. Первая подсистема состоит из одного уравнения - р -подсистемы,

определяющего угловые движения транспортного средства:

Уравнение (5) можно переписать в виде системы из двух уравнений:

где е1 =Р-Рй, е2 =(Р-(Ра.

Вторая подсистема, описывающая радиальные движения транспортного средства, а также колебания установленного на ней маятника, состоит из двух уравнений - {у,в} -подсистемы:

U =-[ Jqml в2 sin в- m2l2 g sin в cos в] + Jq Tu W в S J WR u

в =- - ml С°*в Tv W WR

Систему (7) удобно представить в виде системы уравнений первого порядка:

¿4 = ТГ" [ Jqml(qd + e6)2 sin(e5 +qd) - m¿l2g sin(e5 + qd) cos(e5 +qd)] + ТЩT v- Xd,

¿6 =~^- ^^^ +в)

где W0 = MxJq- П121 2cos2(qd + e5), e3 = X - Xd , ¿4 = v - vd , ¿5 =q-qd, ¿6 =q-qd

Рассмотрим подсистему (6), управлять которой будем по принципу обратной связи. Для этого введем новую переменную и определим поверхность переключения в фазовом пространстве системы как ^ = 0 .

5 = в! + с1е1, (9)

где с - положительный параметр. Непосредственно из определения вытекает:

■Я = е+с1 е1 -срй + с1 е1. (10)

Для стабилизации вращательного движения определим управляющий момент следующим образом:

Т№ Р - ^ в1 - -М§П(51) - к2 (11)

где, - положительно заданные параметры.

Аналогично будем строить управление второй подсистемой (8), управлять которой, будем также по принципу обратной связи. Для этого введем новую переменную и определим поверхность переключения в фазовом пространстве системы, как ■2 = 0 .

■2 = вз + С2вз, (12)

где с2 - положительный параметр, тогда

1 . 2 2 2

■2 = е3 + с2 е3 = (в + в6) ^5 + вё) - т 1 § ^5 + вс1)С08(е5 + ва)] +

7^Т - + с2 ез

Для стабилизации радиального движения определим управляющий момент:

тт"2/2 ^ к Т =-Кт/ (вй+еб)г^т(еь + вй)+яп^ + вй)е08(е5 + вй)--0- \сг ез - +^п^)+кА ^],(14)

где к3, к4 - положительно заданные параметры.

Для того, чтобы одновременно управлять обеими подсистемами системы, введем дополнительное управляющее воздействие:

= § Хапв--[ва + с3(в-вй) - к588п(^3) - кб 53], (15)

где § - ускорение свободного

падения; с3, к5, кб - положительные параметры; 53 - поверхность переключения, определяемая соотношением:

53 = е6 + с3е5 .

Сформулируем основные результаты работы, заключающиеся в принципиальной возможности стабилизации обеих подсистем, в сделанных предположениях относительно управляющих воздействий, в окрестности нулевого положения равновесия.

Теорема 1. Система (6) с управляющим воздействием (11) абсолютно асимптотически устойчива:

Нш || е11|® 0,

Нш || е2 ||® 0. t®¥u 2

Доказательство: определим функцию Ляпунова как

где a = Dj 2 RJр.

Очевидно, что функция V > 0, тогда

V =Ш1 Si = Si. (18)

Подставив (14) в V, получим

V = -(£ Sgn(S1) + k2(S1))S1. (19)

Очевидно, что V1

Теорема 2. Рассмотрим подсистему (8) с управляющим воздействием (14). В сделанных предположениях эта система абсолютно асимптотически устойчива, т. е. при любых начальных условиях выполняются соотношения:

lim ||e3 ||® 0,

t®¥ (20) lim 11 е41|® о.

Доказательство: определим функцию Ляпунова для системы (8) посредством соотношения

где b =Wo R!Je .

Очевидно, что функция V2 > 0, и

V2 = М S2 = S2, так как возникают зоны нечувствительности по отношению к управляющему воздействию. Приведем краткое описание используемого в дальнейшем гистерезисного преобразователя - люфта, основанное на операторной трактовке. Выход преобразователя - люфта на монотонных входах описывается соотношением:

x(t0) при тех t, при которых x(t0) - h < u(t) < x(t0), x(t) = \u(t) при тех t, при которых u(t) > x(t0), (24)

u(t) + h при тех t, при которых u(t) < x(t0) - h,

которое иллюстрирует рис. 3.

С помощью полугруппового тождества действие оператора распространяется на все кусочно-монотонные входы:

Г x(t) = Г [ Г x(t1), h]x(t) (25)

и с помощью специальной предельной конструкции на все непрерывные. Так как выход этого оператора не является дифференцируемым, то в дальнейшем используется аппроксимация люфта моделью Боука-Вена . Эта известная полуфизическая модель широко используется для феноменологического описания гистерезисных эффектов. Популярность модели Боука-Вена обу-

славливается ее способностью охватывать в аналитическом виде различные формы гистерезис-ных циклов. Формальное описание модели сводится к системе следующих уравнений:

Fbw (х, ^ = акх() + (1 -a)Dkz(t), = D"1(AX -р\х \\z \п-1 z -ухе | z |п). (26)

Fbw(x,t) трактуется как выход гистерезисного преобразователя, а x(t) - как вход. Здесь п > 1,

D > 0 k > 0 и 0 <а< 1.

Рис. 3. Динамика входно-выходных соответствий люфта

Рассмотрим обобщение систем (6) и (8), в которых управляющее воздействие поступает на вход гистерезисного преобразователя, а выход является управляющим воздействием на систему:

Fbw (х, t) = akx(t) + (1 - a)Dkz(t), z = D_1(Ax-b\x || z \n-1 z - gx | z\n).

¿4 = W-J mlQd + еб)2 sin(e5 + q) - m2l2g sin(e5 + ed) cos(e5 + 0d)] +

¿б = W -Fbw (x, t) = akx(t) + (1 - a)Dkz(t),

^ z = D_1(A x- b\x\\z\n-1 z-gx \ z\n).

Как и ранее в рассматриваемой системе, основным являлся вопрос о стабилизации, т. е. асимптотическом поведении ее фазовых переменных. Ниже приводятся графики при одних и тех же физических параметрах системы с люфтом и без люфта. Эта система исследовалась посредством численных экспериментов. Данная задача была решена в среде программирования Wolfram Mathematica.

Значения констант и начальные условия приведены ниже:

m = 3; M = 5; Mw = 1; D = 1,5; R = 0,25; l = 0,2; Jw = 1,5; Jc = 5;

Jv = 1,5; j(0) = 0;x(0) = 0; Q(0) = 0,2; y(0) = [ j(0) x(0) Q(0)f = }